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二次函數(shù)的定義

一般像y=ax2 bx c(a，b，c為常數(shù)，a0)這樣的函數(shù)稱為x的二次函數(shù)，例如y=3x2，y=3x2-2，y=2x2 x-1都是二次函數(shù)。

注：(1)二次函數(shù)是關(guān)于自變量的二次方程，二次項的系數(shù)A必須是非零實數(shù)，即a0，而b和c是任意實數(shù)，二次函數(shù)的表達式是代數(shù)表達式；

(2)二次函數(shù)y=ax2 bx c(a、b、c為常數(shù)，a0)，自變量x的取值范圍均為實數(shù)；

(3)當(dāng)b=c=0時，二次函數(shù)y=ax2是最簡單的二次函數(shù)；

(4)一個函數(shù)是否為二次函數(shù)，只有經(jīng)過化簡整理才能得出結(jié)論，例如y=x2-x(x-1)化簡后變成y=x，所以不是二次函數(shù)。

二次函數(shù)的三種表達式

通式：y=ax ^ 2；Bx (a、b、c為常數(shù)，a0)

top:y=a(x-h)2；拋物線的頂點

交點：y=A(X-x1)(X-x2)[只有A (X1，0)和B (X2，0)與X軸相交的拋物線]

注：相互轉(zhuǎn)化的三種形式中，有以下關(guān)系：

h=-b/2a k=(4ac-b^2；)/4a x1，x2=(-b b^2；-4ac)/2a

二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)公式

對于二次函數(shù)y=ax 2bx c

其頂點坐標(biāo)為(-b/2a，(4ac-b 2)/4a)交點：y=a (x-x)(x-x)[只有a(x，0)和b (x，0)與x軸相交的拋物線]

X1，2=-b b 2-4ac

頂部：y=a (x-h) 2 k

[拋物線的頂點P(h，k)]

通式：y=ax 2bx c (a、b、c為常數(shù)，a0)

注：相互變換的三種形式中，有以下關(guān)系：h=-b/2a=(x x x)/2k=(4ac-b ^ 2)/4a與x軸的交點：x，x=(-bb ^ 2-4ac)/2a

二次函數(shù)的平移定律公式

左加右減，加減。

這意味著當(dāng)二次函數(shù)寫成如下形式時：

Y=a (XB) c，只要y=ax的函數(shù)圖像按照以下規(guī)則平移即可。

(1)b0，圖像向左移動B個單位(加左)。

(2)在2)b0，圖像向右移動B個單位(減右)。

(3)在3)c0，圖像向上移動C個單位(加號)。

(4)在4)c0，圖像向下移動C個單位(負)。

拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸是直線x=-b/2a。

與拋物線對稱軸的唯一交點是拋物線的頂點p。特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是Y軸(即直線x=0)。

2.拋物線有一個頂點P，坐標(biāo)為：P(-b/2a，(4ac-b ^ 2)/4a)當(dāng)-b/2a=0時，P在Y軸上；當(dāng)=b 2-4ac=0時，p在x軸上。

3.二次系數(shù)A決定了拋物線的張開方向和大小。

當(dāng)a >時。0，拋物線向上張開；當(dāng)a & lt0，拋物線向下打開。|a|越大，拋物線的開口越小。

4.一階系數(shù)b和二階系數(shù)a共同決定了對稱軸的位置。

當(dāng)A和B具有相同的數(shù)字(即AB >時；0)，對稱軸在Y軸左側(cè)；

當(dāng)A和B有不同的符號時(即AB & lt0)，對稱軸在Y軸的右邊。

5.常數(shù)項C決定了拋物線與Y軸的交點。

拋物線與Y軸在(0，c)的交點

6.拋物線與X軸的交點個數(shù)

當(dāng)=b 2-4ac >時。0，拋物線與x軸有兩個交點。

當(dāng)=b 2-4ac=0時，拋物線與x軸相交。

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