高中數(shù)學(xué)最難的三章是函數(shù)、數(shù)列和不等式、三角函數(shù)和平面向量。下面是這幾章知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容，快來看看吧。

一、函數(shù)的定義域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；

2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零；

3、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零；

4、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；

5、三角函數(shù)正切函數(shù)y=tanx中x≠kπ+π/2；

6、如果函數(shù)是由實(shí)際意義確定的解析式，應(yīng)依據(jù)自變量的實(shí)際意義確定其取值范圍。

二、函數(shù)的解析式的常用求法：

1、定義法；

2、換元法；

3、待定系數(shù)法；

4、函數(shù)方程法；

5、參數(shù)法；

6、配方法

三、函數(shù)的值域的常用求法：

1、換元法；

2、配方法；

3、判別式法；

4、幾何法；

5、不等式法；

6、單調(diào)性法；

7、直接法

四、函數(shù)的最值的常用求法：

1、配方法；

2、換元法；

3、不等式法；

4、幾何法；

5、單調(diào)性法

五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：

1、若f(x),g(x)均為某區(qū)間上的增（減）函數(shù)，則f(x)+g(x)在這個(gè)區(qū)間上也為增（減）函數(shù)。

2、若f(x)為增（減）函數(shù)，則-f(x)為減（增）函數(shù)。

3、若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則f[g(x)]是增函數(shù)；若f(x)與g(x)的單調(diào)性不同，則f[g(x)]是減函數(shù)。

4、奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。

5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。

六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

1、如果一個(gè)奇函數(shù)在x=0處有定義，則f（0）=0，如果一個(gè)函數(shù)y=f（x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f(x)=0（反之不成立）。

2、兩個(gè)奇（偶）函數(shù)之和（差）為奇（偶）函數(shù)；之積（商）為偶函數(shù)。

3、一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積（商）為奇函數(shù)。

4、兩個(gè)函數(shù)y=f（u）和u=g（x）復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個(gè)是偶函數(shù)，那么該復(fù)合函數(shù)就是偶函數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)都是奇函數(shù)時(shí)，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。

5、若函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f（x）可以表示為f（x）=1/2[f（x）+f（-x）]+1/2[f（x）+f（-x）]，該式的特點(diǎn)是：右端為一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和。

不等式的性質(zhì)

①對(duì)稱性

②傳遞性

③加法單調(diào)性，即同向不等式可加性

④乘法單調(diào)性

⑤同向正值不等式可乘性

⑥正值不等式可乘方

⑦正值不等式可開方

⑧倒數(shù)法則

注意事項(xiàng)

1、符號(hào)

不等式兩邊相加或相減同一個(gè)數(shù)或式子，不等號(hào)的方向不變。(移項(xiàng)要變號(hào))

不等式兩邊相乘或相除同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。(相當(dāng)系數(shù)化1，這是得正數(shù)才干使用)

不等式兩邊乘或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。(除或乘1個(gè)負(fù)數(shù)的時(shí)候要變號(hào))

2、解集

確定解集：

①比兩個(gè)值都大，就比大的還大(同大取大)

②比兩個(gè)值都小，就比小的還小(同小取小)

③比大的大，比小的小，無解(大大小小取不了)

④比小的大，比大的小，有解在中間(小大大小取中間)

三個(gè)或三個(gè)以上不等式組成的不等式組，可以類推。

3、數(shù)軸法

可以在數(shù)軸上確定解集：

把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來，數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集。有幾個(gè)就要幾個(gè)。

證明方法

1、比較法

作差比較法：根據(jù)a-b>0?a>b，欲證a>b，只需證a-b>0

作商比較法：根據(jù)a/b=1，

當(dāng)b>0時(shí)，得a>b，

當(dāng)b>0時(shí)，欲證a>b，只需證a/b>1，

當(dāng)b<0時(shí)，得a

2、綜合法

由因?qū)Ч? 證明不等式時(shí)，從已知的'不等式及題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用不等式性質(zhì)及適當(dāng)變形推導(dǎo)出要證明的不等式. 合法又叫順推證法或因?qū)Чā?/p>

3、分析法

執(zhí)果索因. 證明不等式時(shí)，從待證命題出發(fā)，追尋使其成立的充分條件. 由于”分析法“證題書寫不是太方便，所以有時(shí)我們可以利用分析法追尋證題的途徑，然后用”綜合法“進(jìn)行表述。

4、放縮法

將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)到證題目的，已知A

5、數(shù)學(xué)歸納法

證明與自然數(shù)n有關(guān)的不等式時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證之。

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，要注意兩步一結(jié)論。

在證明第二步時(shí)，一般多用到比較法、放縮法和分析法。

6、反證法

證明不等式時(shí)，首先假設(shè)要證明的命題的反面成立，把它作為條件和其他條件結(jié)合在一起，利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個(gè)與命題的條件或已證明的定理或公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)相矛盾的結(jié)論，以此說明原假設(shè)的結(jié)論不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立的方法稱為反證法。

7、換元法

換元的目的就是減少不等式中變量的個(gè)數(shù)，以使問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。

8、構(gòu)造法

通過構(gòu)造函數(shù)、圖形、方程、數(shù)列、向量等來證明不等式。

一、定比分點(diǎn)

定比分點(diǎn)公式（向量P1P=λ向量PP2）

設(shè)P1、P2是直線上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)。則存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使向量P1P=λ向量PP2，λ叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比。

若P1（x1，y1），P2（x2，y2），P（x，y），則有

OP=（OP1+λOP2）（1+λ）；（定比分點(diǎn)向量公式）

x=（x1+λx2）/（1+λ），

y=（y1+λy2）/（1+λ）。（定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式）

我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點(diǎn)公式。

二、三點(diǎn)共線定理

若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，則A、B、C三點(diǎn)共線。

三、三角形重心推斷式

在△ABC中，若GA+GB+GC=O，則G為△ABC的重心。

四、向量共線的重要條件

若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使a=λb。

a//b的重要條件是xy—xy=0。

零向量0平行于任何向量。

五、向量垂直的充要條件

a⊥b的充要條件是ab=0。

a⊥b的充要條件是xx+yy=0。

零向量0垂直于任何向量。

設(shè)a=（x，y），b=（x，y）。

六、向量的運(yùn)算

1、向量的加法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

AB+BC=AC。

a+b=（x+x，y+y）。

a+0=0+a=a。

向量加法的運(yùn)算律：

交換律：a+b=b+a；

結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）。

2、向量的減法

如果a、b是互為相反的向量，那么a=—b，b=—a，a+b=0。0的反向量為0

AB—AC=CB。即“共同起點(diǎn)，指向被減”

a=（x，y） b=（x，y） 則a—b=（x—x，y—y）。

4、數(shù)乘向量

實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。

當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a同方向；

當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a反方向；

當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0，方向任意。

當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ，都有λa=0。

注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

實(shí)數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮。

當(dāng)∣λ∣＞1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長(zhǎng)為原來的∣λ∣倍；

當(dāng)∣λ∣＜1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上縮短為原來的.∣λ∣倍。

5、數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律

結(jié)合律：（λa）b=λ（ab）=（aλb）。

向量對(duì)于數(shù)的分配律（第一分配律）：（λ+μ）a=λa+μa。

數(shù)對(duì)于向量的分配律（第二分配律）：λ（a+b）=λa+λb。

數(shù)乘向量的消去律：

①如果實(shí)數(shù)λ≠0且λa=λb，那么a=b。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

6、向量的的數(shù)量積

定義：已知兩個(gè)非零向量a，b。作OA=a，OB=b，則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a，b〉并規(guī)定0≤〈a，b〉≤π

定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點(diǎn)積）是一個(gè)數(shù)量，記作ab。若a、b不共線，則ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共線，則ab=+—∣a∣∣b∣。

向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：ab=xx+yy。

7、向量的數(shù)量積的運(yùn)算律

ab=ba（交換律）；

（λa）b=λ（ab）（關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律）；

（a+b）c=ac+bc（分配律）；

向量的數(shù)量積的性質(zhì)

aa=|a|的平方。

a⊥b〈=〉ab=0。

|ab|≤|a||b|。

8、向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)

8.1向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：（ab）c≠a（bc）；例如：（ab）^2≠a^2b^2。

8.2向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由ab=ac（a≠0），推不出b=c。

8.3|ab|≠|(zhì)a||b|

8.4由a|=|b|，推不出a=b或a=—b。

七、向量的向量積

1、定義：兩個(gè)向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個(gè)向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a||b|sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則a×b=0。

2、向量的向量積性質(zhì)：

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

3、向量的向量積運(yùn)算律

a×b=—b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

（a+b）×c=a×c+b×c。

注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒故意義的。

4、向量的三角形不等式

1、∣∣a∣—∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

①當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，左邊取等號(hào)；

②當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，右邊取等號(hào)。

2、∣∣a∣—∣b∣∣≤∣a—b∣≤∣a∣+∣b∣。

①當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，左邊取等號(hào)；

②當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，右邊取等號(hào)。

來源：高三網(wǎng)