矩陣等價(jià)的充要條件是同型矩陣且秩相等。相似必然等價(jià)，等價(jià)不一定相似。兩矩陣等價(jià)，秩相等，列向量，行向量極大線性無(wú)關(guān)組數(shù)相等。

1.矩陣A和A等價(jià)(反身性）；

2.矩陣A和B等價(jià)，那么B和A也等價(jià)(等價(jià)性）；

3.矩陣A和B等價(jià)，矩陣B和C等價(jià),那么A和C等價(jià)（傳遞性）；

4.矩陣A和B等價(jià)，那么IAI=KIBI。(K為非零常數(shù))

5.具有行等價(jià)關(guān)系的矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組有相同的解

6.對(duì)于相同大小的兩個(gè)矩形矩陣，它們的等價(jià)性也可以通過(guò)以下條件來(lái)表征：（1）矩陣可以通過(guò)基本行和列操作的而彼此變換。（2）當(dāng)且僅當(dāng)它們具有相同的秩時(shí)，兩個(gè)矩陣是等價(jià)的。

根據(jù)矩陣等價(jià)的充要條件，兩個(gè)矩陣有相同的秩，可知n階方陣A與單位方陣E等價(jià)的充要條件是：A秩=E秩=n。

也就是說(shuō)A可以通過(guò)有限次初等變換得到E，而|E|=1. 由行列式初等變換的原理，可以知道，必存在一個(gè)非零的數(shù)k，使得|A|=k|E|不等于0，因此|A|不等于0是A和E等價(jià)的充要條件。

我們可以由兩個(gè)矩陣等價(jià)推出：

1、它們有相同的行數(shù)和列數(shù)；

2、它們的秩相同；

3、它們與同一標(biāo)準(zhǔn)型矩陣等價(jià)；

4、如果它們是同階方陣，則它們所對(duì)應(yīng)的行列式同時(shí)等于0或同時(shí)不等于0；

5、可以通過(guò)有限次初等變換，由其中一個(gè)矩陣得到另外一個(gè)矩陣。

來(lái)源：高三網(wǎng)