偏導(dǎo)數(shù)延續(xù)證明方法: 先用定義求出該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)值c,再用求導(dǎo)公式求出不在該點(diǎn)時(shí)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y),最后求fx(,x,y)當(dāng)(x,y)趨于該點(diǎn)時(shí)的極限,如果limfx(x,y)=c,即偏導(dǎo)數(shù)延續(xù),否則不延續(xù)。

用偏導(dǎo)數(shù)的定義來驗(yàn)證:

1、偏導(dǎo)數(shù)是通過極限來定義的，按定義寫出某點(diǎn)(x0,y0)處偏導(dǎo)數(shù)的極限表達(dá)式。

2、(以對x的偏導(dǎo)數(shù)為例)lim[f(x,y0)-f(x0,y0)]/(x-x0)(x趨于x0)。

3、然后用極限的相關(guān)知識(shí)來考察這個(gè)極限是否存在。

4、這極限是否存在和該點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)是否存在是一致的,因此證明偏導(dǎo)數(shù)存在的任務(wù)就轉(zhuǎn)化為證明極限存在。

在數(shù)學(xué)中，一個(gè)多變量的函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，就是它關(guān)于其中一個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)而保持其他變量恒定(相對于全導(dǎo)數(shù)，在其中所有變量都同意 變化)。偏導(dǎo)數(shù)在向量分析和微分幾何中是很實(shí)用的。

設(shè)U??n，給定函數(shù)f:U→?，p∈U，f在p點(diǎn)的第i偏導(dǎo)數(shù)定義為Dif(p)=limt→0(f(p+tei)-f(p))/t=(f°c)'(0)，其中c為過點(diǎn)p的方向?yàn)閑i的線c(t)=p+tei。

例子

x方向的偏導(dǎo)設(shè)有二元函數(shù) z=f(x,y) ，點(diǎn)(x0,y0)是其定義域D 內(nèi)一點(diǎn)。把 y 固定在 y0而讓 x 在 x0 有增量 △x ，相應(yīng)地函數(shù) z=f(x,y) 有增量(稱為對 x 的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。如果△z 與 △x 之比當(dāng) △x→0 時(shí)的極限存在，那么此極限值稱為函數(shù) z=f(x,y) 在 (x0,y0)處對 x 的偏導(dǎo)數(shù)，記作 f'x(x0,y0)或函數(shù) z=f(x,y) 在(x0,y0)處對 x 的偏導(dǎo)數(shù)，實(shí)際上就是把 y 固定在 y0看成常數(shù)后，一元函數(shù)z=f(x,y0)在 x0處的導(dǎo)數(shù)。

y方向的偏導(dǎo)同樣，把 x 固定在 x0，讓 y 有增量 △y ，如果極限存在那么此極限稱為函數(shù) z=(x,y) 在 (x0,y0)處對 y 的偏導(dǎo)數(shù)。記作f'y(x0,y0)。

來源：高三網(wǎng)