拐點(diǎn)又稱反曲點(diǎn)，在數(shù)學(xué)上指改變曲線向上或向下方向的點(diǎn)，直觀地說(shuō)拐點(diǎn)是使切線穿越曲線的點(diǎn)（即延續(xù)曲線的凹弧與凸弧的分界點(diǎn)）。

若該曲線圖形的函數(shù)在拐點(diǎn)有二階導(dǎo)數(shù)，則二階導(dǎo)數(shù)在拐點(diǎn)處異號(hào)（由正變負(fù)或由負(fù)變正）或不存在。

可以按下列步驟來(lái)推斷區(qū)間I上的延續(xù)曲線y=f(x)的拐點(diǎn)：

⑴求f''(x)；

⑵令f''(x)=0，解出此方程在區(qū)間I內(nèi)的實(shí)根，并求出在區(qū)間I內(nèi)f''(x)不存在的點(diǎn)；

⑶對(duì)于⑵中求出的每一個(gè)實(shí)根或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)x，檢查f''(x)在這個(gè)點(diǎn)x左右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，那么當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相反時(shí)，這個(gè)點(diǎn)(x，f(x))是拐點(diǎn)，當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相同時(shí)，(x，f(x))不是拐點(diǎn)。

常見(jiàn)的充分性條件是二階導(dǎo)數(shù)在這個(gè)點(diǎn)的左右兩側(cè)變號(hào)。

二階導(dǎo)數(shù)等于0是必要條件，若三階導(dǎo)數(shù)不為0（前提存在），則必是拐點(diǎn)。三階導(dǎo)數(shù)也為0，結(jié)論不定。比如f(x)=x^4，0點(diǎn)的2 3 階導(dǎo)數(shù)都是0，但0不是拐點(diǎn)。

從集合的角度來(lái)說(shuō)，必要條件的集合包含要證明的集合，充分條件的集合，是證明集合的子集。 總之，必要條件的集合包含的范圍大些，充分的小些。

來(lái)源：高三網(wǎng)