假設(shè)等邊三角形的邊長為a，那么長的一半為a/2，根據(jù)勾股定容理，所以三角形的高是√[a2-(a/2)2]=√3a/2。又因?yàn)槭堑冗吶切?，所以三角形的四心合一。分高?：1，其中長的是外接圓半徑，短的是內(nèi)切圓半徑。所以，內(nèi)切圓半徑是6分之根號3乘以a。

設(shè)等邊三角形的邊長是a，則內(nèi)切圓的半徑是(√3/6)a，推導(dǎo)過程如下：

△ABC是全等三角形，圓O是內(nèi)切圓，切點(diǎn)是D,E 。

連接OE，OD，因?yàn)橄嗲?，所以O(shè)E垂直BC，OD垂直AB

所以在，△DBO和△EBO中

DO=EO

BO=BO

∠BDO=∠BEO

因此可以證得△DBO和△EBO全等

所以∠DBO=∠EBO=30°

同理，可證的∠ECO=30°

因此BE=CE=a/2

由正切函數(shù)可得

OE/BE=tan30°=√3/2

所以

OE=BEx√3/2

=a/2 x√3/2

=(√3/6)a

與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，圓心叫做三角形的內(nèi)心，三角形叫做圓的外切三角形，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)。

三角形一定有內(nèi)切圓，其他的圖形不一定有內(nèi)切圓（一般情況下，n邊形無內(nèi)切圓，但也有例外，如對邊之和相等的四邊形有內(nèi)切圓。），且內(nèi)切圓圓心定在三角形內(nèi)部。

在三角形中，三個角的角平分線的交點(diǎn)是內(nèi)切圓的圓心，圓心到三角形各個邊的垂線段相等。

內(nèi)切圓的半徑為r=2S/C=S/p，當(dāng)中S表示三角形的面積，C表示三角形的周長，p表示三角形的半周長。

面積法；1/2lr(l周長）用于任意三角形。

來源：高三網(wǎng)