原函數(shù)延續(xù)導(dǎo)數(shù)不一定延續(xù)，原函數(shù)延續(xù)并不能推出導(dǎo)函數(shù)延續(xù)。還需要進(jìn)一步求導(dǎo)才可推斷。原函數(shù)延續(xù)，并且導(dǎo)數(shù)存在，導(dǎo)函數(shù)不一定延續(xù)。例如：原函數(shù)y=|x|延續(xù)，可是其導(dǎo)函數(shù)y'在x=0處沒意義，即不延續(xù)。

定理一 在某點延續(xù)的有限個函數(shù)經(jīng)有限次和、差、積、商（分母不為0） 運算，結(jié)果仍是一個在該點延續(xù)的函數(shù)。

定理二 延續(xù)單調(diào)遞增 （遞減）函數(shù)的反函數(shù)，也延續(xù)單調(diào)遞增 （遞減）。

定理三 延續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是延續(xù)的。

延續(xù)導(dǎo)數(shù)就是說這個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是延續(xù)的。

函數(shù)在各點的導(dǎo)數(shù)值不同，因此存在一個該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，也就是每一個x對應(yīng)一個值，這個值就是原函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)值，這就是導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)。

要弄明白導(dǎo)函數(shù)延續(xù)的意義首先要搞清晰函數(shù)延續(xù)的意思，就是說函數(shù)的圖像是連在一起的，中間沒有斷開（沒有間斷點）。導(dǎo)數(shù)表示愿函數(shù)在該點的斜率大小，導(dǎo)函數(shù)延續(xù)說明原函數(shù)的斜率是延續(xù)變化的，而并沒有在某點發(fā)生突變。

關(guān)于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和延續(xù)有常用的推論：

1、延續(xù)的函數(shù)不一定可導(dǎo).

2、可導(dǎo)的函數(shù)是延續(xù)的函數(shù).

3、越是高階可導(dǎo)函數(shù)曲線越是光滑.

4、存在處處延續(xù)但處處不可導(dǎo)的函數(shù).

來源：高三網(wǎng)