在數(shù)學(xué)中，延續(xù)是函數(shù)的一種屬性。直觀上來說，延續(xù)的函數(shù)就是當(dāng)輸入值的變化足夠小的時候，輸出的變化也會隨之足夠小的函數(shù)。

最基本也是最常見的延續(xù)函數(shù)是定義域為實數(shù)集的某個子集、取值也是實數(shù)的延續(xù)函數(shù)。例如前面提到的花的高度，就是屬于這一類型。這類函數(shù)的延續(xù)性可以用直角坐標(biāo)系中的圖像來表示。一個這樣的函數(shù)是延續(xù)的，如果粗略地說，它的圖像為一個單一的不破的曲線，并且沒有間斷、跳躍或無限逼近的振蕩。

我們稱函數(shù)到處延續(xù)或處處延續(xù)，或者簡單的稱為延續(xù)，如果它在其定義域中的任意一點處都延續(xù)。更一般地，當(dāng)一個函數(shù)在定義域中的某個子集的每一點處都延續(xù)時，就說這個函數(shù)在這個子集上是延續(xù)的。

所有多項式函數(shù)都是延續(xù)的。各類初等函數(shù)，如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、平方根函數(shù)與三角函數(shù)在它們的定義域上也是延續(xù)的函數(shù)。

絕對值函數(shù)也是延續(xù)的。

定義在非零實數(shù)上的倒數(shù)函數(shù)f= 1/x是延續(xù)的。但是如果函數(shù)的定義域擴(kuò)張到全體實數(shù)，那么無論函數(shù)在零點取任何值，擴(kuò)張后的函數(shù)都不是延續(xù)的。

非延續(xù)函數(shù)的一個例子是分段定義的函數(shù)。例如定義f為：f(x) = 1如果x> 0，f(x) = 0如果x≤ 0。取ε = 1/2，不存在x=0的δ-鄰域使所有f(x)的值在f(0)的ε鄰域內(nèi)。直覺上我們可以將這種不延續(xù)點看做函數(shù)值的驀地跳躍。

另一個不延續(xù)函數(shù)的例子為符號函數(shù)。

來源：高三網(wǎng)