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教育資訊:特征向量的意義

矩陣乘法對(duì)應(yīng)了一個(gè)變換,是把任意一個(gè)向量變成另一個(gè)方向或長(zhǎng)度都大多不同的新向量。在這個(gè)變換的過(guò)程中,原向量主要發(fā)生旋轉(zhuǎn)、伸縮的變化。如果矩陣對(duì)某一個(gè)向量或某些向量只發(fā)生伸縮變換,不對(duì)這些向量產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)的效果,那么這些向量就稱為這個(gè)矩陣的特征向量,伸縮的比例就是特征值。

特征向量的意義

特征向量

矩陣的特征向量是矩陣?yán)碚撋系闹匾拍钪?,它有著廣泛的應(yīng)用。數(shù)學(xué)上,線性變換的特征向量(本征向量)是一個(gè)非簡(jiǎn)并的向量,其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特征值(本征值)。

一個(gè)線性變換通??梢杂善涮卣髦岛吞卣飨蛄客耆枋?。特征空間是相同特征值的特征向量的集合?!疤卣鳌币辉~來(lái)自德語(yǔ)的eigen。1904年希爾伯特首先在這個(gè)意義下使用了這個(gè)詞,更早亥爾姆霍爾茲也在相關(guān)意義下使用過(guò)該詞。eigen一詞可翻譯為”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者“個(gè)體的”,這顯示了特征值對(duì)于定義特定的線性變換的重要性。

特征向量的物理的含義

特征向量的物理的含義就是運(yùn)動(dòng)的圖景:特征向量在一個(gè)矩陣的作用下作伸縮運(yùn)動(dòng),伸縮的幅度由特征值確定。特征值大于1,所有屬于此特征值的特征向量身形暴長(zhǎng);

特征值大于0小于1,特征向量身形猛縮;

特征值小于0,特征向量縮過(guò)了界,反方向到0點(diǎn)那邊去了。

來(lái)源:高三網(wǎng)

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