2021年一般 高等學校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學

本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B)填涂在答題卡相應位置上，將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用 28鉛筆在答題卡上對應題目選項

的答案信息點涂黑：如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不

能答在試卷上，

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案：不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，將試卷和答題卡一井交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，惟獨一項是符合題目要求的。

1. 設集合A= {x|-2<x<4}. B = {2,3,4,5},則A∩B=

A.{2} B.{2,3} C.{3,4,}  D.{2,3,4}

2.已知z=2-i，則(=

A.6-2i  B.4-2i  C.6+2i   D.4+2i

3.已知圓錐的底面半徑為，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為

A.2  B.2  C.4   D.4

4.下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)=7sin()單調遞增的區(qū)間是

A.(0, ) B.(,)  C.(,)   D.(,)

5.已知F1,F2是橢圓C：的兩個焦點，點M在C 上，則|MF1|·|MF2|的最大值為

A.13 B.12  C.9   D.6

6.若tan=-2,則=A.

B.

C.

D.

7.若過點（a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則A. eb<aB. ea<bC. 0<a<ebD. 0<b<ea  

8.有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機取兩次,每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立 

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。 

9.有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2,…,xn,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c為非零常數(shù)，則A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同 

10.已知O為坐標原點，點P1(cosα,sinα),P2(cosβ，-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1，0),則A.|=B.=

C.=D.

11.已知點P在圓+=16上，點A（4,0），B（0,2），則

A.點P到直線AB的距離小于10

B.點P到直線AB的距離大于2

C.當∠PBA最小時，|PB|=3

D.當∠PBA最大時，|PB|=3

12.在正三棱柱ABC-中，AB=A，點P滿足，其中λ∈[0,1]，∈[0,1]，則

A．當λ=1時，△P的周長為定值

B. 當=1時，三棱錐P-

C. 當λ=時，有且僅有一個點P，使得

D.當=時，有且僅有一個點P，使得B⊥平面AP

三．選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知函數(shù)f(x)=是偶函數(shù)，則a=____________

14.已知O為坐標原點，拋物線C:的焦點為F,P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且PQ⊥OP,若|FQ|=6，則C的準線方程為____

15. 函數(shù)f(x) =|2x-l|-2lnx的最小值為  

16. 某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現(xiàn)此紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格為20dmXl2dm的長方形紙.對折1次共可以得到10dmX2dm . 20dmX6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和=240 dm2,對折2次共可以得5dmX12dm ，10dmX6dm，20dmX3dm三種規(guī)格的圖形,它們的面積之和180dm2.以此類推.則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______:如果對折n次，那么=______dm2

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)已知數(shù)列{}滿足=1，

(1)記=，寫出，，并求數(shù)列的通項公式；

(2)求的前20項和

18.(12 分)

某學校組織"一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題?每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇類并從中隨機抽収一個問題冋答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若 回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽 結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分：B類問題中的每個問題 回答正確得80分，否則得0分。

己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8 ,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6 . 且能正確回答問題的概率與回答次序無關。

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列：

（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由。

19.(12分)

記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a.，b.，c,已知=ac,點D在邊AC 上，BDsin∠ABC = asinC.

(1)證明：BD = b：

(2)若AD = 2DC .求cos∠ABC.

20.(12分)

如圖，在三棱錐A-BCD中.平面ABD丄平面BCD，AB=AD.O為BD的中點.

(1)證明：OA⊥CD：

(2)若△OCD是邊長為1的等邊三角形.點E在 棱AD上. DE = 2EA .且二面角E-BC-D的大小為45°，求三棱錐A-BCD的體積.

21.(12分)

在平面直角坐標系xOy中，己知點(-7,0)，(7,0),點M滿足|MFt|-|MF2|=2.記M 的軌跡為C.

(1)求C的方程;

(2)設點T在直線上，過T 的兩條直線分別交C于A，B兩點和P，Q兩點,且|TA||TB|=|TP||TQ| ,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和

22.(12分)

已知函數(shù)f(x)=x（1-lnx)

(1)討論f(x)的單調性

(2)設a,b為兩個不相等的正數(shù),且blna-alnb=a-b證明:

新高考Ⅰ卷數(shù)學答案解析

1.B

2.C

3.B

4.A

5.C

6.C

7.D

8.B

9.CD

10.AC

11.ACD

12.BD

13.a=1

14.

15.1

16.5；

17.

（1）解：由題意得b1=a2=a1+1=2,b2=a4=a3+1=5

∵b1=a2=a1+1,∴a2-a1=1.

b2=a4=a3+1=a2+3 ∴a4-a2=3.

同理a6-a4=3

……

bn=a2n-a2n-2=3.

疊加可知a2n-a1=1+3(n-1)

∴a2n=3n-1

∴bn=3n-1.驗證可得b1=a2=2，符合上式.

（2）解：∵a2n=a2n-1+1

∴a2n-1=a2n-1=3n-2.

∴設{an}前20項和為S20

∴S20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)

     =145+155=300

18.

（1）解：

由題意得x=0,20,100.

P（x=0）=0.2  

P(x=20)=0.8×0.4=0.32 

P(x=100)=0.48

X

0

20

100

P

0.2

0.32

0.48

∴

（2）解：

小明先選擇B，得分為y

∴y=0,80,100

P（y=0）=0.4

P(y=80)=0.6×0.2=0.12

P(y=100)= 0.6×0.8=0.48

y

0

80

100

p

0.4

0.12

0.48

∴

Ex=54.4  Ey=57.6

∴小明應先選擇B.

19.

（1）由正弦定理

得,即=

又由BD=asinc，得BD=asinc,

即 BD=b

(2) 由AD=2DC,將=2,即==

||2 ||2+||2+

=c2+a2+ca

-11ac+3=0

a=c或a=c

①  cos=

=

②cos(x)

綜上

cos=

20.

(1)證明：

由已知，中AB=AD且O為BD中點

AO⊥BD

又平面ABD⊥平面BCD

AO⊥平面BCD且CD平面BCD

AO⊥CD

(2)由于為正三角形，邊長為1

OB=OD=OC=CD

BCD=

取OD中點H，連結CH，則CH⊥OD

以H為原點，HC,HD,HZ為x，y，z軸建立空間直角坐標系

由①可知，平面BCD的法向量

設C()，B(0,)，D(0,)

則

DE=2EA

且

設⊥平面BEC=(x,y,z)

，即

由于二面角E-BC-D為

==

21.（1）,

 表示雙曲線的右支方程：

 （2）設，設直線AB的方程為，

 ，得

 設，同理可得

 所以

 得

即

22.（1）f(x)=x-xlnx

令f’(x)＞0，則0＜x＜1，

令f’(x)＜0，則x＞1

∴f(x)的單調增區(qū)間為(0,1)，單調減區(qū)間為(1,+∞).

(2)

即，即f()=f()

令p=，q=，不妨設0＜p＜1＜q，下面證明2＜p+q＜e.

①     先證p+q＞2，當p≥2時結論顯然成立.

當q∈(1,2)時，p+q＞2,，則p＞2-q，∴2-q＜1.只需設f(p)＞f(2-q).

即證當q∈(1,2)時，由f(p)＞f(2-q)

令g(x)=f(x)-f(2-x).

g’(x)=f’(x)+f’(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[-(x-1)2+1]

當x∈(1,2)時，-(x-1)2+1＜1，所以g’(x)＞0,

∴g(x)在(1,2)上單調遞增，

∴g(q)＞g(1)=0，即f(q)＞f(2-q)

②再設,

當時，，當時，

∴

∵   ∴

要證只需證

即證當時，有

設，，

設小于1的根為，則在單調遞增，在單調遞減.

證畢

來源：高三網(wǎng)